EL BLOC        l'exposició Continua aquí

«Back

Xarxa telefònica

Dossier docent: XARXA TELEFÒNICA

García Valverde, Tania;   Gelabert Paris, Maria;   Pomés Pitart, Jordi

Introducció de l’activitat i justificació

Partint del següent problema:

Una empresa telefònica vol donar cobertura a 3 pobles, situats tal i com mostra la figura (formen un triangle amb cap angle intern major de 120º). L’empresa vol gastar la menor quantitat de cable. Com realitzaries la instal·lació?


S’intenta resoldre provant diferents estratègies (mesurant diferents dibuixos, aprofitant propietats de l’aigua sabonosa, a partir de principis físics...), fins arribar a una solució òptima fent una posada en comú, que és el descobriment d’un punt característic del triangle: el punt de Fermat. Una vegada, que es creu que s’ha trobat la millor solució, es comprova, mesurant els diferents camins, i per això, es fa ús del GeoGebra.

L’activitat de raonament i prova relacionada amb aquest problema és:

Troba el camí mínim que passa per 3 punts que formen un triangle el qual no té cap angle intern superior a 120⁰

Es tria aquesta experiència perquè es tracta de resoldre un problema real a partir de solucions pràctiques (aigua sabonosa i corda). Tot seguit, es veu la teoria que hi ha al darrera, la geometria.

És a dir, a conseqüència de cercar el camí mínim entre 3 punts, es troba un punt característic del triangle que sempre compleix unes determinades propietats, el punt de Fermat, i per tant, se li dóna una aplicació real a un punt notable del triangle.

A més, aquest descobriment del punt de Fermat a partir de l’aigua sabonosa resulta molt atractiu, i per això es valora també com a una possible activitat complementària que es podria encabir en algunes jornades culturals relacionades amb les matemàtiques.

La majoria dels alumnes desconeixen les aplicacions dels punts notables del triangle. En ocasions, ni tan sols coneixen els punts notables o no saben les diferències entre ells i com trobar-los. Aquesta mancança s’accentua més amb l’existència del Punt de Fermat, que ni tan sols se’ls ha anomenat a classe.

 

 

Objectius d’aprenentatge de l’activitat

  • Crear un debat a l’aulaen que els alumnes proposin, intercanviïn idees, dibuixin, debatin, respectin els torns de paraules, etc. mentre intenten trobar el punt que se’ls demana.
  • Trobar el camí mínim que passa per 3 punts donats, solucionant un problema de la vida real.
  • Conèixer el Punt de Fermat, saber trobar-lo(dibuixant i amb l’ús de les TIC) i entendre que precisament és el punt que compleix l’enunciat de l’exercici i molts altres problemes de la vida real.
  • Donar petites nocions dels punts notables del triangle, per veure que cap d’ells és el punt que se’ls demana.

 

Continguts d’aprenentatge de l’activitat

·         Resolució de problemes a partir de diferents estratègies.

·         Perseverança i flexibilitat en la cerca de solucions als problemes i en la millora de les proposades

·         Comunicació del pensament matemàtic propi a companys i professor i contrast amb els dels altres

·         Analitzar les característiques i propietats de figures geomètriques i desenvolupar raonaments sobre relacions geomètriques

·         Utilitzar la visualització, el raonament matemàtic i la modelització geomètrica per a resoldre problemes

·         Dibuix d’objectes geomètrics a partir de dades mitjançant instruments de dibuix (regle, escaire, compàs i transportador).

·         Ús de programes de geometria dinàmica com a suport del raonament geomètric.

 

Competències implicades

C2 Competència artística i cultural

                Actitud respectuosa i participativa en manifestacions culturals i artístiques.

                Expressió i comunicació a través dels llenguatges i mitjans artístics

C3 Tractament de la informació i competència digital

Ús de les tecnologies de la informació i la comunicació com a mitjà d’informació i comunicació i també de producció de coneixement

C4 Competència matemàtica

                Organització, comprensió, expressió i raonament matemàtic per descriure la realitat

                Plantejament i resolució de problemes quotidians

C5 Competència d’aprendre a aprendre

                Coneixement de les pròpies capacitats d’aprenentatge i d’autoregulació

                Ús de les habilitats i tècniques d’aprenentatge

                Actitud positiva envers l’aprenentatge

C7 Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic

                Comprensió i interpretació de la vida, el món físic i les seves interaccions.

                Nocions i experiències (processos i metodologies) científiques i tecnològiques

 

 

Context

  • Curs:  3r d’ESO

·         Coneixements previs: Els alumnes haurien de conèixer, com a mínim, els següent conceptes: Bisectriu d’un angle, Mediatriu d’un segment, Mediana d’un triangle, Altura d’un triangle i Distància entre dos punts.

  • Àrees implicades:Les matèries complementàries que es poden tractar amb l’activitat són l’Educació visual i plàstica i Ciències de la Naturalesa (Física – Química o Geologia – Biologia).

Planificació

·         Guió de les sessions:

Es planifica l’activitat en 3 sessions. A la primera sessió:

1.       Descripció exercici i objectiu final: despesa mínima de cable per a l’empresa instal·ladora. 

2.       Cada alumne dibuixa intuïtivament el camí que creu que compleix les necessitats de l’enunciat. A continuació, mesura amb el regle la distància dels diferents camins dibuixat.

3.       Pluja d’idees dels alumnes on exposen en veu alta els seus camins i la seva distància mínima aconseguida.

4.       Els alumnes que més s’apropen a la solució real surten a la pissarra, dibuixen el seu camí i expliquen el raonament als altres companys.

5.       El professor exposa la solució correcta i entre tots deduïm l’existència d’un nou punt, el Punt de Fermat.

A la segona sessió:

1.       Coneixements mínims físics – químics (concepte de la mínima energia i tensió superficial) perquè els alumnes puguin entendre l’experiment amb les bombolles de sabó.

2.       S’utilitza el material preparat i una preparació sabonosa per tal que els alumnes coneguin de manera visual la solució a l’exercici proposat, el Punt de Fermat. Se’ls explica que els angles resultants són de 120⁰ .

 

 http://www.telefonica.net/web2/lasrotas/ficheros/Geogebra/Punto_de_Fermat.html

3.       Experiment amb 4 vèrtexs, (sempre intentant participació i raonament previ a la resolució, en aquest cas 2 punts de Fermat)

(http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/fermat4.htm

4.       El mateix amb altres figures i geometries.

5.       Repetició de l’experiment del triangle però amb un altre mètode: per grups de 4 persones, on 3 persones seran els 3 pobles i la quarta persona serà el mesurador). Cada persona té una anella i passa una corda per cada anella de la mateixa mida i amb un pes penjant. Es fa un nus amb les tres cordes pel centre, la 4a. persona estira el nus cap amunt i el deixa anar. On queda aquest nus és precisament el punt de Fermat. El mesurador  comprova que els angles siguin de 120⁰ com s’havia vist en l’anterior experiment.

 Per últim, a la tercera sessió:

1.       Es fa dibuixar als alumnes un triangle en un full i se’ls fa trobar el punt de Fermat mitjançant el mètode tradicional, és a dir amb compàs i regle.

2.       Un cop tots els alumnes l’han trobat (amb dibuixos clars, nets i coherents), el professor mostra un applet utilitzant el GeoGebra i mostra que realment aquest punt minimitza el camí que passa pels 3 vèrtexs. Es pot anar movent el punt per comparar el que mesura cada camí, es poden anar movent els vèrtexs per veure on queda el Punt de Fermat, etc.

http://www.geogebra.org/en/upload/files/fmaizjimenez/Punto_de_Fermat.html

 

3.       Explicació senzilla amb el GeoGebra del cas on un angle intern del triangle sigui superior a 120⁰.

4.       El professor exposa als alumnes, primer a la pissarra i després al GeoGebra, els punts notables del triangle i, en funció del temps disponible, els fa dibuixar als alumnes o els posa com a deures per un altre dia.

5.       Finalment, recuperant l’exercici original proposat, el grup conclou que el punt on s’instal·larà el repetidor per tal de minimitzar el cable telefònic és el Punt de Fermat entre els 3 pobles.

Material didàctic

Per a l’experiment amb les bombolles:

§  Aigua sabonosa: 50% aigua, 40% sabó rentaplats, 10% glicerina , proveta

§  Estructures geomètriques:  arc amb corda  

§  Eines per les planxes: trepant, pistola elèctrica de silicona, cúter, claus, alicates, tenalles.

§  Planxes de camins:metacrilat, cargols, rosques

 

Per al treball dels alumnes:

§  Plantilla amb 4 triangles

§  Regle, compàs, transportador d’angles

Pel que fa a les TIC:

§  Links a GeoGebra

§  Presentació: https://docs.google.com/presentation/d/1nyKqCst-x4OXcjGL8AnZmKv4Lh-dY8Ql9Uate8pKfsY/edit?usp=sharing

Documents de referència

§  Isenberg, C., The Science of soap films and soap bubbles, Dover 1992

§  Anton Aubanell: http://www.xtec.cat/~aaubanel/

§  Oprea, J., The Mathematics of soap films: Explorations with Maple, AMS, Student Mathematical Library Vol. 10, 2000

§  Pep Bou: http://www.pepbou.com/

§  Matemáticas con pompas de jabón. Joaquín García Mollá: http://i-matematicas.com/blog/2010/05/11/matematicas-con-pompas-de-jabon-en-3d/

§  Pompas de jabón. Talento Matemático 2005/2006. Real Academia de Ciencias

 

 

 

Realització i resposta de l’alumnat

Aquesta activitat no ha estat realitzada. Es va realitzar una semblant. A partir de les preguntes que surten a la presentació adjunta s’anava veient el comportament del sabó, de manera que l’estructura que se segueix és Conjecturar, Experimentar i Interpretar els resultats obtinguts. Així els coneixements sorgeixen a partir de preguntes que s’intenta respondre mitjançant l’experiment amb l’ajut de les matemàtiques per a entendre aquestes situacions.

Primer es va experimentar amb un 4t d'ESO professional i un 1r de batxillerat científic. Als dos cursos va anar molt bé. Al 4t d'ESO es van fer els càlculs per fer la mescla i una vegada feta es va començar amb les diferents preguntes per respondre amb les bombolles i matemàtiques, sense cap presentació com a suport.  Es va posar més èmfasi en la comprovació amb un metre dels diferents camins dibuixats a la pissarra. Després de veure que el camí de l’aigua sabonosa donava un punt d’intersecció i que dos a dos formaven angles de 120º, se’ls va presentar el punt de Fermat i l’explicació de la seva construcció.

En canvi, al 1r de batxillerat científic es va exposar la presentació adjuntada i es va aprofundir una mica més en les superfícies mínimes que passen per un camí donat.

Valoració de l’efectivitat de l’activitat

En general l’activitat de les bombolles va anar millor del que esperàvem ja que els alumnes es mostraven participatius. Però es necessita més d’una hora per fer totes les preguntes amb tot el material i els protagonistes són les bombolles sense cap activitat escrita, per tant, hem elaborat una activitat partint d’un problema escrit i utilitzant l’aigua sabonosa per comprovar les solucions ja extretes del problema.

Reflexió personal

Vaig gaudir molt d'experimentar aquest treball a l'aula perquè podia veure les cares dels nois sorpresos per les diferents respostes que ens donava el sabó i eren molt curiosos. Finalment els deixava fer bombolles i que practiquessin ells amb les estructures.

Pel dia de Sant Jordi, amb l’ajuda del meu tutor de pràctiques, vàrem fer l’exposició al saló d’actes amb tots els cursos de 1r d’ESO i un 2n de batxillerat.

Al començament estava una mica nerviosa perquè al tractar-se de 4 classes de primer d'ESO pensava que a l'hora d'explicar els conceptes podien desconnectar o no els quedaria massa clar, però a mesura que avançava l'exposició veia que els nens estaven engrescats i volien participar fent matemàtiques! Quasi tots volien sortir a l’escenari a dibuixar les seves propostes de camins mínims. I de seguida van veure que el camí bo passava per un punt que estava dintre del triangle.

Gràcies a les bombolles els alumnes arribaven a entendre conceptes abstractes i de difícil comprensió perquè ho veien a la pràctica i ho podien experimentar.

Comments
Trackback URL: